Mechanika dźwięku – wprowadzenie

by Gamma Function

Artykuł ten jest wstępem do krótkiej serii opisującej drgania harmoniczne. Ma formę dość formalną jednak uważam, że aby lepiej zrozumieć naturę dźwięku należy omówić ruch harmoniczny. Jest to najprostszy rodzaj drgań, którym możemy opisać każde inne drgania – poprzez transformacje Fouriera. Jednak o tym troszkę później.

Jak już wiemy, dźwięk jest falą rozchodzącą się w ośrodkach ciągłych, czyli falą mechaniczną. Źródłem dźwięków słyszalnych są drgania o częstotliwościach mieszczących się w progu słyszalności, czyli 16 Hz - 20 kHz.

Najprostszym układem mechanicznym, który wykonuje drgania harmoniczne jest masa zawieszona na sprężynie.

rys. 1

Przypuśćmy, że sprężyna jest doskonale liniowa, to znaczy, że siła ciągnąca z powrotem jest proporcjonalna do wielkości rozciągnięcia. Korzystając z prawa Hook’a, które mówi, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest proporcjonalne do tej siły, układamy równanie ruchu:

F=-kx
m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx

gdzie k – współczynnik sprężystości

W tym miejscu podam ogólne rozwiązanie równania, a w dalszej części artkułu zajmę się uproszocznymi przypadkami. Równanie przyjmuje postać:

cos(\omega_{0}t + \Delta ) = cos\omega_{0}t cos\Delta  - sin\omega_{0}tsin\Delta
x=Acos\omega_{0}t+Bsin\omega_{0}t

Jednak uprośćmy sytuację. Przypuśćmy, że \frac{k}{m} = 1 Wtedy:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -x

Różniczkując otrzymujemy:

\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -cost
\frac{dx}{dt} = -sint
x=cost

Jak widać ruch drgający jest opisany poprzez funkcje okresową, wynika to z natury układu i można to zaobserwować podczas eksperymentu.
Wróćmy jednak do równania pierwszego. Po rozwiązaniu przyjmuje ono postać:

m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -kx
\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -\omega_{0}^{2}cos\omega_{0}t = -\omega_{0}^{2}x
\frac{dx}{dt} = -\omega_{0}sin\omega_{0}t
x=cos \omega_{0} t

\omega_{0} jest częstością kołową drgań, \omega_{0} = \sqrt{\frac{m}{k}}, jest to liczba radianów o jaką zmienia się faza w ciągu sekundy i jest wyznaczona poprzez różniczkowanie równania ruchu. Zaś $t_{0}$ jest okresem drgań. Korzystając z właściwości funkcji cosinus wnioskujemy, że gdy kąt przekracza $2 \pi$ następuje powtorzenie wartości funkcji, czyli: \omega_{0}t = 2\pi. Idąc dalej otrzymujemy:

t_{0}=\frac{2\pi}{\omega_{0}} = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}

Jak widać nie jest to jednak najbardziej ogólne rozwiązanie równania, które podałem na początku, ponieważ musimy zawrzeć tak zwane przesunięcie początku czasu. Oznacza to, iż możemy zacząć obserwacje drgającego obiektu w momencie innym niż t=0.

Na tym kończe rozważania w tym artykule. W następnej części omówię energie w ruchu harmonicznym, drgania wymuszone, tłumione a następnie przejde do formalnego opisu dźwięku i zjawisk akustycznych.