Funkcja Gamma

Nazwa projektu – Gamma Function – nie jest przypadkowa oraz nie została wybrana ze względów fonetycznych. Już sama nazwa zawiera w sobie główne zamierzenia projektu, jednocześnie reprezentując rzeczy zupełnie intuicyjne jak i doskonale rozumiane oraz wysoko abstrakcyjne.

Dla każdej liczby naturalnej n silnia jest iloczynem wszystkich liczb mniejszych od n. Definicja nie określa 0!, przyjęto, że 0! = 1. 

n!=\begin{cases} 1 & \mbox{ dla }n=0 \\ n\cdot(n-1)! & \mbox{ dla }n\geqslant1 \end{cases}

Zgodnie z definicją, silnie możemy zapisać jako: 5! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 = 120. Jej zastosowanie jest dość szerokie min. w statystyce, analizie błędu czy kombinatoryce.

Jednak tu prostota i intuicyjność się kończy. Problem pojawia się już, gdy chcemy określić silnię dla innych liczb niż naturalne. Problem ten jest nie bez znaczenia chociażby w mechanice kwantowej, mechanice statystycznej czy geometrii n-wymiarowej. Dlatego rozszerzono pojęci silni na zbiór liczb zespolonych, która definiowana jest przez funkcje Gamma:

\Gamma(z) = \int\limits_0^{+\infty} t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

Funkcja Gamma inaczej funkcja Eulera jest jedną z funkcji specjalnych, to znaczy, że nie jest określona elementarnie, a jej wartość określa całka.

Zgodnie z definicją jesteśmy w stanie policzyć wartość silni dla liczb zespolonych ale nie jesteśmy w stanie zapisać działania w postaci rozwiniętej dla liczb innych niż naturalne! Piękno tej funkcji to ścisłe scalenie rzeczywistości z abstrakcją.

Wykres funkcji w przedziale (-5,5)

GF Plot